基于微课辅助教学的教学设计探究

                ——以“正弦定理”为例

陈锴    中山市龙山中学

一、学情与问题

本节课的教学内容是人教版必修五第一章《解三角形》中的正弦定理，由于是高三第一轮复习，在课前笔者让学生谈一谈对正弦定理的认识，大部分学生都可以准确的答出正弦定理的式子，也可以运用正弦定理来完成解三角形的题目，但是大部分学生不知道正弦定理是如何证明的。通常情况下如果我们以应试为目标，再加上高三复习时间紧迫，在这一内容上就直接做题复习了。但笔者在研读教材后，深深感到正弦定理是源于生活、用于生活的数学知识。在知识上，它是初中阶段学习的“解直角三角形”的延伸与拓展；在内容上，它与前面学习的三角函数与向量紧密联系；在形式上，它非常能够体现数学的美感；在应用上，它与实际生活息息相关。如果学生仅停留在记住公式、会做题的层面上，可能应对考试是没问题的，但会使数学知识离学生的生活与思维越来越远，不利于学生数学能力的培养。

有什么办法既可以节约高三宝贵的复习时间，又可以让学生更有收获呢？笔者想到了近期非常流行的一种教学模式，新的教学资源：微课。由于正弦定理这一内容并不艰深，学生也是在高二学习过的，笔者准备让学生先通过微课自学，再在课堂上进行探究与深化。

二、微课教学设计

笔者计划在复习课的前一天播放微课，微课时长控制在10分钟以内。用PPT结合几何画板软件，引导学生通过实际问题发现正弦定理，运用初中学过的“解直角三角形”的知识证明正弦定理，再用正弦定理解决实际问题。其间由学生自主探究“当三角形是钝角三角形时，正弦定理如何证明？”，以及“是否有其他方法证明正弦定理？”这两个问题。整个过程包含观察——猜想——证明——应用四个阶段。通过实际问题的解决，让学生体验学习成就感，增强数学学习兴趣和主动性，锻炼探究精神。

三、微课教学简介

3.1情境引入

问题：如果仅有测角仪和皮尺两样工具，你能测出广州塔“小蛮腰”的高度吗？

            

图1                                        图2

如图1所示建立数学模型，建立直角三角形，用测角仪测得的度数，用皮尺测出点A到塔内底部中心点C的距离，则塔高。

在实际问题中，由于我们无法准确找到C点，也就无法测得线段AC的长度时，还有什么办法可以测量塔高呢？

如图2所示，在AC连线上选取另一点D，连接BD，在Rt△BDC中，可以测得的度数以及的长度，由，可以求出塔高。则问题的关键在于如何求出的长度。

在△BAD中，已知，和的对边AD（皮尺测得），要求的是的对边BD。这就要求我们必须研究三角形边与对角的数量关系。

3.2温故知新

回忆初中学习过的直角三角形知识，在直角三角形中得出三角形边与对角的数量关系式：。并提问：这个结论在其他三角形中也成立吗？

3.3直观验证

利用几何画板软件（如图3），拖动三角形任意一个顶点可以从直观上验证对于任意三角形都成立。

3.4理论证明

按照课本方法证明正弦定理。               图3

3.5自主探究

问题1、若△ABC为钝角，正弦定理如何证明？

问题2、正弦定理的证明还有其他方法吗？

3.6实际应用

给出具体数据，运用正弦定理，解决本节课开始的测塔高的问题。

四、课堂教学简介

师：同学们，在昨天的微课中，我们在一个实际问题中发现了正弦定理；用几何画板验证了正弦定理，也在锐角三角形中证明了正弦定理，最后还用正弦定理解决了求塔高的实际问题。请问哪位同学可以总结一下证明正弦定理的核心方法是什么？（问题1）

生：将锐角三角形化为两个直角三角形，利用直角三角形证明。

师：很好！在钝角三角形中证明正弦定理也可以按照这种方法来做吗？（问题2）

生1：可以，钝角三角形也可以用做高的方法构造直角三角形来证明。

师：好。请你在黑板上写出你的证明过程。

生1：（过程略）

师：通过生1的证明，我们现在已经在直角、锐角、钝角三种三角形中都证明了正弦定理，也就是说：正弦定理对于所有的三角形都成立。在证明中我们使用了将锐角钝角三角形转化为直角三角形进行证明的方法，那么除了这种方法，还有没有其他方法可以证明正弦定理呢？（问题3）

生2：有，我看到课后习题中一种方法，可以用三角形的外接圆来证明正弦定理。

师：好，请你在黑板上证明课后这道习题。

生2：如图，的外接圆为圆，

，即，同理可得：。

师：通过生2的证明，我们又将正弦定理进一步扩充，得到一个结论即：(为外接圆半径)。那么还有其他方法可以证明正弦定理吗？

意图：停顿几秒后，无人回应，没有人想出向量证明的方法，可见学生运用向量解决问题的意识与能力还很薄弱。笔者认为这时候老师必须出场了。

师：其实我们证明正弦定理，只需要证明。那么将分式进行变形，也就是要证明什么呢？（问题5）

生4：也就是要证明。

师：对，现在请大家观察这个式子，它与我们学过的哪个知识比较相关呢？（问题6）

生5：如果把，代入，这个式子与向量有关！

师：很好，也就是要证明，现在这个式子里有三角形的边长以及夹角，很显然和向量里的哪个知识有联系呢？（问题7）

生6：和向量的数量积有联系！

师：好，你来告诉大家，向量的数量积公式是什么呢？（问题8）

生6：，其中为与的夹角。

师：向量的数量积公式里用到的是夹角的余弦值，大家想一想式子中是正弦，该怎么办呢？（问题9）

生7：正弦变余弦，用诱导公式！,。

师：太棒了！现在就是要证明：。现在这个式子与向量的数量积公式已经非常接近了，要想完全的符合向量的数量积公式，还应该怎么做呢？（问题10）

生8：要找一个向量，与的夹角为，与的夹角为，然后把它乘在等式两边，就变成向量的数量积了。

师：很好，这样的向量能找到吗？

（学生安静下来，开始思考。）

师：如果一时找不到向量，我们可以先从找夹角开始，在中怎样可以做出，这两个角呢？

生9：做,这样,。

师：这种想法很巧妙，现在可以找出哪个向量与的夹角为，与的夹角为了吗？

生：。

师：非常正确！现在将乘在等式两边，也就得到了，即：。如何证明这个等式成立呢？

生10：将等式左右相减，可得：，也就是。因为与垂直，所以这个等式显然成立，也就说明正弦定理是成立的。

师：非常好，刚才在大家的共同努力下，我们完成了用向量法证明正弦定理的过程。从要证明的等式出发，步步倒推，最终完成证明，这就是我们学过的哪种证明方法呀？

生：分析法。

师：下面请大家自己复习课本第三页中“解三角形”的定义，完成学案中的两个例题。

例1、在中，角所对的边分别为若

解此三角形。

例2、如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得∠BCD=，∠BDC=，CD=s，并在点C测得塔顶A的仰角为，求塔高AB.

意图：给学生一些时间自由看书复习，一来可以使学生有机会整理刚才的证明思路，二来可以让学生从紧张的证明情绪中得以舒缓，准备进入下面的练习。例1的目的主要是让学生练习解三角形，特别强调已知两边及一边对角的题型会有两种情况，要结合“大边对大角”进行取舍。例2是解三角形与立体几何综合题，紧扣考纲，培养学生应用意识。评讲过程略。

五、教学感悟

1.充分挖掘微课的作用与优势，让微课走进学生。

课后笔者试想，如果这节课不用微课，全部内容可以安排在课堂内完成吗？根据笔者所教的学生的水平来看，若学生没有经过课前的思考与自习，课堂很有可能将变成教师一人讲授的“独角戏”。教学效果可想而知。

弗赖登塔尔在《作为教育任务的数学》一书中强调，“数学起源于现实”，“数学教师的任务之一是帮助学生构造数学现实，并在此基础上发展他们的数学现实”。本节课笔者借助微课以实际问题为背景，以学生熟悉的“解直角三角形”为出发点，由微课到课堂，带领学生步步深入，探究正弦定理这个新知从何处来，到何处去。这正是从学生思维的“最近发展区”出发设计教学，利用微课这种新方式搭建起独立思考、求真务实、勇于探究的思维平台。给予学生更多的独立思考的时间与空间，激发出学生在课堂上的主动性和参与性，让学生“在经历中体验”，不仅能让学生“学会”知识，更让学生“会学”知识。

所以笔者认为在本节内容上结合微课进行教学对于学生来说是合适的，它有助于数学知识与思维在学生的头脑中自然的生长，使学生达到真正的理解。对于微课，我们应该让它真正的走进学生，融入课堂，充分发掘它的作用与优势，让微课在教学的各个环节发光发热，帮助学生更好的学习。

2.有效教学要从学生的角度出发，真正做到“以人为本”

作为高三一轮复习课，笔者这节课的处理方式不仅在形式上与以往的复习课有所不同，而且在内容的侧重点上也不同。以往复习正弦定理，可能更多的是重在解题，重在定理的应用；本节课主要侧重于定理的证明。那么这样的一节复习课，能够起到针对高考综合复习的作用吗？纵观全课，师生在正弦定理的复习中综合运用了三角函数、向量、平面几何中圆的性质等知识内容，在思想方法上渗透了从特殊到一般、转化与化归、分类讨论等思想，在能力上激发了学生的学习兴趣与自主复习的意识，提升了学生数学应用能力与分析问题的能力，培养了学生的理性精神。笔者认为这些正是那一纸高考试卷希望考生拥有的素质，同时也正是我们的学生所欠缺的。

随着课程改革的深入与推进，以往一些忽视学生独立思考，教师越俎代庖的复习方式已经暴露出越来越多的问题。对于数学基础一般的学生，仅靠记忆知识点、分题型训练的复习方式可能初期分数提升较快，但在复习的中后期学生往往很快进入瓶颈，尤其对综合性较强、考查理解分析能力的题目很难有所突破。究其原因是学生的数学思维与能力没有得到真正的发展，综合运用知识的意识比较薄弱。所以我们的高三复习要尽可能的收起急功近利的思想，真正的从学生出发，沿着学生的思维路线去探究、生成，才能做到真正的“以人为本”。

总之，笔者认为微课对于课堂的辅助功能非常值得我们每一位教师深入挖掘，只有我们精心设计出贴近学生，贴近课堂的微课案例才能够使微课真正走入学生的学习，才能够更好的创建高效课堂。只有我们真正站在学生的角度，尊重理解学生的学习过程，设计出与之相对应的教学过程，才能够保护学生学习的积极性，达到既学习知识又提高能力的效果。

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）[M].北京：人民教育出版社，2003.

[2]人民教育出版社中学数学室.普通高中课程标准实验教科书（A版）：数学5[M].北京：人民教育出版社，2007.

[3][荷]弗赖登塔尔.作为教育任务的数学[M].上海：上海教育出版社，1995.