高中生在两步试验中对错误概念“简单复合法”

使用情况的调查分析

吴荣燕

（广州市美术中学，广东，广州，510060）

摘要：在概率的学习中，高中生对概率概念的理解容易发生困难。本文通过问卷分析得出，学生在两步试验中，“简单复合法”的使用受数据的影响小受背景的影响反而更大，并提出了针对这种错误概念的教学策略。

关键字：几何概型、简单复合法

1 问题的提出

2003年教育部颁布的《普通高中数学课程标准(实验稿)》，明确地提出了将概率知识列入高中数学必修课程。国内外的不少学者对学生在概率学习中产生的错误概念进行了研究，其中预言结果法、等可能性偏见、机会不可量化及预测、简单复合法是学生在概率学习中常见的错误认识。

简单复合法是国内学者李俊（2001）命名的，使用简单复合法的学生将两步试验简单分割成两个一步试验进行概率大小判断的错误认识。简单复合法分为3种类型，即假设a和b是第一步试验的两个可能的结果，c和d是第二步试验的两个可能的结果，那么，根据简单复合法：

1）若a和b发生的机会相等，c和d发生的机会也相等，则两步试验的结果像a和c、b和c、a和d以及b和d发生的机会都相等。

2）若a和b发生的机会相等，但c比d发生的机会大，则两步试验的结果a和c或b和c比a和d以及b和d发生的机会都大，但是a和d以及b和d发生的机会都相等。

3）若a比b发生的机会大，c比d发生的机会大，则两步试验的结果a和c发生的机会最大。[1]

李俊在1998年以小学六年级、八年级和十二年级的学生为研究对象，得出结论是：无论学生是否学过概率，他们都很有把握地使用这种分割转化的方法，是两步试验机会比较问题的一种主要的错误概念，而且简单复合法的使用不受背景的影响，但受数据的影响。

现在，我国的新一轮课程改革已进行了10年，课改区的高中生在初中阶段就已经学习过概率统计的初步知识，他们在“几何概型”两步试验中对“简单复合法”的使用情况还需要大量的第一手的数据去研究。

2 研究对象与题目的选取

笔者在2011年10月，以广州市的高中生为研究对象，调查分析了学生在概率的概念学习中存在的主要错误概念。笔者选择了广州市协和高级中学、广州市第86中学这两所重点中学和广州市越秀区外国语学校、广州市美术中学这两所普通中学共四所学校的570个高中生为研究对象。

在测试问卷的10个题目中，第7题是为了观察学生对几何概型两步试验的概率值的解释而设置的，笔者想通过这道题目观察现在的高中生对简单复合法的使用。

7(1). 用力旋转两个转盘的指针，下面哪个说法是正确的？

A．两个指针都停在红色上的可能性最大；

B. 两个指针都停在蓝色上的可能性最大；

C. 一个指针停在红色上，另一个指针停在

蓝色上的可能性最大；

D. 以上三种可能性是一样大的；

E. 无法判断这三个可能性中哪一个最大。

我选：（    ）；理由：

为了测试学生使用错误概念时受数据和背景的影响大小，笔者还使用了两道平行的题目来测试学生。下面列出这两个题目。

7(2).用力旋转两个转盘，下面哪个说法是正确（选项同7(1)）？

(Ⅰ)第一组转盘                  (Ⅱ)第二组转盘

我选：（    ）；理由：

其中，第二组转盘蓝色所占的度数分别为和。

7(3).甲袋中放着1只红球和2只蓝球，乙袋中放着5只红球和7只蓝球。两袋均各自摇匀，闭上眼睛分别从甲袋和乙袋中各取一个球，下面说法正确的是（  ）

A． 取出两个红球的可能性最大；

B． 取出两个蓝球的可能性最大；

C． 取出一个蓝球和一个红球的可能性最大；

D． 以上三种情况可能性一样大；

3 学生在几何概型两步试验中对“简单复合法”的使用情况分析

一些学生在给出的理由中连两个转盘的指针落入每种颜色的概率也不计算，只谈到蓝色区域面积分别大于红色区域面积。

案例1 一位普通高中一年级学生的第1小题的答案为B，理由：根据图形面积大小，蓝色面积大，红色面积小，直观可以判断；第二小题的第一组转盘他则选了D，理由是蓝色和红色各占一半，所以无论是都停在蓝色、都停在红色或者一篮一红，概率都一样大；第二组转盘则选C，因为第一个转盘红色占大多数，第二个转盘蓝色占多数，综合起来应该是指针停在一篮一红的概率大。

类似这样进行定性分析是不能获得正确答案的，他在回答平行的问题1时，很有可能是在使用简单复合法（1）和（3）。

一些学生仅分别算出两个转盘的指针落入每种颜色的概率就下判断了。

案例2 一位重点中学的高一年级学生给出的答案是B，理由是：第一个转盘中红、蓝色空间的比值为1：2，第二个转盘中红、蓝色空间比值为5：7。

案例3 一位普通中学高一级的男生的回答是B；理由：因第一个转盘的指针落在蓝色区域机率是红色区域的2倍，第二转盘的指针落在蓝区机率是红区的倍，故停止时，都落在蓝色区域的机率大于落在红色区域的机率。

案例2、3中的学生虽然没有写非常明显的推理过程，但是他们回答的特点与简单复合法(3)完全符合，前一位学生认为第一、第二个转盘蓝色区域大于红色区域，所以两个指针都停在蓝色上的可能性最大；后一位学生认为两个转盘的指针落在蓝色区域的机会都大于落在红色区域的机会，所以两个指针都停在蓝色上的可能性最大。对于这种只分别计算一个转盘的概率，不计算两个转盘概率的被试，笔者认为他们用的就是简单复合法。

在数据的整理中，笔者还发现一个知识错误迁移的现象，学生会不自觉地用解决古典概型的方法解决几何概型的问题。

案例4 一位普通中学高三级女生的第1小题中选择了选项B，理由是：因为两个转盘上的两个颜色都不是对半分，所以概率就不相同。因为蓝色占的面积大，所以停在蓝色的可能性大。；

第2小题选C，理由是第一组的两个转盘蓝色和红色各一半，由树状图可得：

P（bb）=，P（rr）=，P（br）=。

第二组转盘中，蓝：红=1：2；第二个转盘蓝：红=5：1，看这个比例，一个红的多，另一个是蓝的多，最后指针应该是停在一篮一红概率大。

而第3小题，她的回答则是C：理由是由树状图得出，

一共是36个基本事件，P（bb）=，P（rr）=，P（br）=。故选C。

从她的解题思路可以看出，该生总是试图用画树状图的方法来解决几何概型的问题，问题1的第一组转盘就是如此，第二组转盘蓝色与红色的比例相差较大，不知如何画树状图。在正确回答问题2后，再面对相同数据的第7题，由于背景不同，他还是用了简单复合法（3）来解决。显然，几何概型与古典概型的定义是不同的，几何概型的基本事件数都是无限个，不能通过画树状图来表示。

案例5 普通中学一位高三级的男生的第2小题选了B答案，理由：都停在蓝色上的概率为。理由是：P（蓝蓝）=，

P（红红）=，P（蓝红）=

然而化简后，P（蓝红）就已经等于1了，而他并没有意识到这一点。

而第3小题他的答案和理由都是正确的：

P（BB），P（RR），P（BR）。选C。

在与该生的谈话中，笔者了解到，他在做题时已经意识第2、3小题的数值在比例上是相同的，即使第3小题的结果是抽出一蓝一红的概率大，但在第2小题中，他仍然觉得因为两个转盘的蓝色区域都比较大，所以指针都停在蓝色的可能性会比较大。第1、2小题的转盘图片很形象的表示了两种颜色面积的大小，让他毫不犹豫地使用了简单复合法。

在高二、高三年级的访谈对象共29人中，笔者发现学生们都能用树状图的方法解决第3小题，而对于第1、2题，有5人用了画树状图等计算古典概率的方法来计算概率值，有24人仍然使用了简单复合法。

在测试的问卷中，第5题用于观察学生在古典概率的两步试验中主要错误概念。

第5题  小明与小均玩用两个骰子玩游戏，他们规定：每人每次同时投掷两颗骰子，若小明同时投到5点和6点就算小明赢，若小均同时投到两个6点就算小均赢。你觉得这个游戏规则公平吗？为什么？

表3-1 第5题与第7题使用“简单复合法”的人数百分比

“简单复合法” 的使用	高一	高二	高二文	高二理	高三	高三文	高三理
第5题	5.5%	2.6%	3.3%	2.0%	15.9%	10.0%	22.1%
第7题	52.7%	52.8%	49.5%	55.9%	51.1%	60.0%	41.9%

高中生在初中时就已接触部分概率知识，掌握了一定的计算概率值的方法，特别是树状图法和列举法等。在表3-1中，第5题是古典概型的应用，第7题是几何概型的应用，两道题使用“简单复合法”的人数比例上有很大的不同，这说明与古典概型相比，几何概型的问题则使用简单复合法的人较多，因为几何概型的问题一般都跟面积、长度、体积有关，图形的形象表示更易引发直觉方法——“简单复合法”的使用。因此，笔者认为，简单复合法的使用对现在的高中生来说，受数据的影响小，受背景的影响反而更大。

4 针对“简单复合法”的教学策略

新课标中，在提出概率的频率定义后，课本着重研究了古典概型的概率。学生在熟悉了古典概型的概念和概率的计算方法后，容易把所有随机事件的概率都理解为古典概型的概率，而且系统学习过概率计算的高三应届学生更容易犯“简复合法”，他们的主观概率意识更强。

4.1 重视概率定义的教学

虽然高中新课标理念要求的概率教学要尽量淡化复杂计算，但是由于高考指挥棒的作用，高中概率教学主要的工具还是排列组合，除了计算外，一些教师觉得概率没什么内容，没什么可深讲的，在思想上不能引起足够的重视。而对于概率中的某些问题，即使在同一个答案的背后，也会有各种错误的理由和不同水平的理解，教师应要求学生对他们的答案说明理由，从而有针对性地帮助学生提高概率的认知水平。

4.2重视对各种概率模型的理解和应用

部分学生对概率模型不能准确地判定和识别，而这恰恰是正确解答概率问题的关键，且多数学生对解答各种概率模型题发展不均衡。所以，在概率解题教学中，教师要重视对各种概率模型的理解和应用，理解概率模型的特点，在实际问题中培养学生的识别模型能力，强化解答概率问题的通性通法，判断所求问题是什么概率模型是解决问题的关键，然后分类型求解。教师可以通过编拟一些貌似相同，但本质意义明显不同的题组，在解题中纠正那些常见错误。

参考文献：

[1] 李俊.中小学的概率教与学[M].上海:华东师范大学出版社,2003.

[2] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(实验). 人民教育出版社，2003.

[3] 程伶俐. 中学数学教师对概率概念及其教学的认识[D]. 上海:华东师范大学，2006.

[4] 李善良．现代认知观下的数学概念学习与教学[M]．江苏：江苏教育出版社，2005.