直线与圆的位置关系教案

（人教A版高中课标教材数学必修2第四章4.2.1）

揭阳一中南区学校 甘裕文

一．教学目标

知识目标：理解直线与圆的三种位置关系，以及探究直线与圆的位置关系的数量关系及其运用。

能力目标：渗透类比、转化、数形结合的数学思想和方法，培养学生的逻辑思维能力和视图能力。

情感目标：让学生感受到实际生活与数学的密切联系，激发学生学习数学的兴趣。

二.重点难点

l      重点：用代数法与几何法探究直线与圆的位置关系

l      难点：直线和圆的位置关系判断方法的运用

三、教学过程

1．情境导入

问题1 （1）根据图（一）直角坐标系中圆的图形，写出

 圆

 圆的一般方程                                   

（2）在图(一)中根据直线的方程画出直线，并判断直线与圆

的位置关系       ．

（3）在图（二）中根据直线的方程画出直线，并判断直线与圆的位置关系           ．

（4）在图（三）中根据直线的方程画出直线， 并判断直线与圆的位置关系          ．

 

 

        

答案：（1） (x+1)² +y² =4   x² +y²+2x-3=0

（2）相交  （3）相离  （4）相离

师生活动 学生动手画图、思考，教师巡视指导，学生代表到前面演示，一边讲解做题过程一边与同学们核对．

问题2  在核对的过程中，图（三）的结果出现了分歧，有的同学的答案是直线与圆的位置关系是相离，有的同学认为是相切，思考到底哪种情况是正确的呢？

师生活动 教师制造矛盾，让学生发现通过图形判断直线与圆的位置关系会存在一定的误差，但又没有更好地理由否定对方的结果．激发学生学习新知识的强烈欲望，体现新知学习的必要性．

问题3  从“形”上来看，怎样判断直线与圆的位置关系？

回顾初中学习的两种方法：

①根据定义（根据公共点的个数来定义位置关系）

（1）直线和圆有两个公共点，直线与圆相交

（2）直线和圆有唯一公共点，直线与圆相切

（3）直线和圆没有公共点，直线与圆相离

②圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系 （几何法）

（1）当时，直线与圆相交

（2）当时，直线与圆相切

（3）当时，直线与圆相离

师生活动 教师提问，学生思考、回答，教师根据学生回答情况及时进行补充．

问题4  既然画图形存在误差，思考不画图，如何判断直线与圆的位置关系？我们现在已学习了直线的方程和圆的方程，能否根据这两个方程来判断直线与圆的位置关系？

问题5  例题：利用所学知识解决有“争议”的图（三）问题

（4）已知直线的方程是，圆的方程是，判断直线与圆的位置关系

方法1：几何法       

方法2：代数法

2．探索研究

你能否根据上面解决问题的方法，总结利用方程判断直线与圆的位置关系的两种方法．教师帮助学生梳理、归纳：

方法一：（几何法）设直线，圆

可由圆心到直线的距离与半径的大小关系来判断：

（1）当时，直线与圆相交

（2）当时，直线与圆相切

（3）当时，直线与圆相离

方法二: （代数法）设直线，圆

可由方程组_{。。。。。。}  （） 的解的不同情况来判断：

（1）当方程组有两组实数解时（Δ>0），直线与圆相交

（2）当方程组有一组实数解时（Δ＝0），直线与圆相切

（3）当方程组没有实数解时（Δ<0），直线与圆相离

 

3．课堂训练

练习1  已知直线与圆

（1）判断直线与圆 的位置关系.

（2）如果直线与圆相交，求它们交点坐标A,B.

思考：如图，（1）如果直线与圆相交，试求弦长|AB|.

（2）如果过点A的直线被圆截得弦长为|AB|, 求直线的方程.

解（1） 解法一：由直线l 与圆的方程，得

① ②

消去y，得x² – 3x + 2 = 0，

因为  △= (–3)² – 4×1×2 = 1＞0

所以  直线l与圆相交，有两个公共点.

解法二：圆x² + y² –2y – 4 = 0可化为

x² + (y – 1)² =5

其圆心C的坐标为（0，1），半径长为，点C (0，1)到直线l 的距离

d =＜.

所以，直线l 与圆相交，有两个公共点.

（2）由x² –3x + 2 = 0，解得x₁ =2，x₂ = 1.

把x₁=2代入方程①，得y₁= 0；

把x₂=1代入方程①，得y₂= 0；

所以，直线l 与圆有两个交点，它们的坐标分别是

A (2，0)，B (1，3).

 

思考：（1）由（1）知

           （注：还有其它解法吗？）

（2）3x +y –6 = 0  或 x +3y –2 = 0.

 

练习2

（1） 已知圆的方程，直线y = kx +1, 则圆与直线的位置关系是       

（2） 圆上有          个点,到直线y=1 的距离为1.

（3）（2009 重庆）已知点m（a，b）在圆O：x²+y²=1外，则直线ax+by=1于圆O的位置关系是           

（4）（2007 安徽）直线Ax+By=0与圆x²+y²+Ax+By=0的位置关系是        

答案：（1） 相交    （2） 3    （3）相交   （4）相切

四、归纳小结

（1）通过本节课的学习，你学到了哪些知识？

（2）通过本节课的学习，你掌握了哪些方法？

（3）本节课蕴含哪些数学思想？

师生活动  教师引导学生从知识—方法—思想的角度，层层深入，梳理本节课的内容．

五、课后作业

①．必做题

1、从点P(x.3)向圆（x+2)² +(y+2)²=1作切线，则切线长度的最小值是（    ）

A. 4        B.             C.5         D.  5.5

2、点M(3.0)是圆x²+y²-8x-2y+10=0内一点，则过点M最长的弦所在的直线方

程是(    )

A.x+y-3=0    B. 2x-y-6=0     C.x-y-3=0     D.2x+y-6=0

3、直线l:与圆x²+y²=1的关系是（     ）

A.相交       B.相切         C. 相离       D.不能确定

4、设点P(3,2)是圆(x-2)²+(y-1)²=4内部一点，则以P为中点的弦所在的直线方程

是                   

5.已知点m（a，b）在圆O：x²+y²=1外，则直线ax+by=1于圆O的位置关系是           

6.直线Ax+By=0与圆x²+y²+Ax+By=0的位置关系是           

7.已知直线y=x+1与圆相交于A,B两点，求弦长|AB|的值

8.已知直线与圆心在原点的圆相切，求圆的方程．

 

 

②．（选做题）已知直线和圆：，

（1）请你具体给出、的一组值，使直线和圆相切；

（2）当直线与圆相离时，、应满足什么关系；

             （3）若，试判断直线和圆的位置关系．

 

③．课后思考题：一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛的中心为圆心，半径为30km的圆形区域．已知小岛中心位于轮船正西70km处，港口位于小岛中心正北40km处．如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？ 

 SHAPE  \* MERGEFORMAT

y

x

港口

轮船

解：以台风中心为原点O，东西方向为x轴，建立直角坐标系，其中，取10km为单位长度。这样，受台风影响的圆形区域所对应的圆O方程为

 

轮船航线AB所在直线l的方程为：

4x+7y-28=0

 

点O到直线l的距离：

 

圆O的半径长r=3。

因为3.5>3，所以这艘轮船不必改变航线，不会受到台风的影响。