教学流程三：考点透析

考点二、同源同向但不同速（或不同半径）运动问题-----缩放圆法

【例2】．如图所示，左边有一对平行金属板，两板的距离为d，电压为U，两板间有匀强磁场，磁感应强度为B₀，方面平行于板面并垂直纸面朝里。图中右边有一边长为a的正三角形区域EFG（EF边与金属板垂直），在此区域内及其边界上也有匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。假设一系列电荷量为q的正离子沿平行于金属板面、垂直于磁场的方向射入金属板之间，沿同一方向射出金属板间的区域，并经EF边中点H射入磁场区域。不计重力。

　　（1）已知这些离子中的离子甲到达边界EG后，从边界EF穿出磁场，求离子甲的质量；

　　（2）已知这些离子中的离子乙从EG边上的I点（图中未画出）穿出磁场，且GI长为3a/4，求离子乙的质量；

（3）若这些离子中的最轻离子的质量等于离子甲质量的一半，而离子乙的质量是最大的，问磁场边界上什么区域内可能有离子到达？

 

【解析】（1）由题意知，所有离子在平行金属板之间做匀速直线运动，它所受到的向上的磁场力和向下的电场力平衡，有

     ①

式中v是离子运动的速度，E₀是平行金属板之间的匀强电场的强度，有

         ②

由①②式得：               ③

在正三角形磁场区域，离子甲做匀速圆周运动。设离子甲质量为m，

由洛仑兹力公式和牛顿第二定律有：   ④

式中，r是离子甲做圆周运动的半径。离子甲在磁场中的运动轨迹为半圆，圆心为O：这半圆刚好与EG边相切于K，与EF边交于I/点。在ΔEOK中，OK垂直于EG。

由几何关系得            ⑤

由⑤式得  ⑥

联立③④⑥式得,离子甲的质量为  ⑦

（2）同理，有洛仑兹力公式和牛顿第二定律有   ⑧

式中，和分别为离子乙的质量和做圆周运动的轨道半径。离子乙运动的圆周的圆心必在E、H两点之间，又几何关系有    ⑨

由⑨式得  ⑩

联立③⑧⑩式得，离子乙的质量为     ⑾

（3）对于最轻的离子，其质量为m/2，由④式知，它在磁场中做半径为r/2的匀速圆周运动。因而与EH的交点为O，有   ⑿

当这些离子中的离子质量逐渐增大到m时，离子到达磁场边界上的点的位置从O点沿HE边变到P点；当离子质量继续增大时，离子到达磁场边界上的点的位置从K点沿EG边趋向于I点。K点到G点的距离为   ⒀

 

【方法小结】带电粒子以大小不同，方向相同的速度垂直射入匀强磁场中，圆周运动的半径随着速率变化而变化，因此其轨迹为半径缩放的动态圆，利用缩放的动态圆，可探索出临界点的轨迹。

 

考点三、同源同速但不同向运动问题-----旋转圆法

　　在磁场中向垂直于磁场的各个方向发射速度大小相同的带电粒子时，带电粒子的运动轨迹是围绕发射点旋转的半径相同的动态圆，用这一规律可快速确定粒子的运动轨迹。

【例3】．如图所示，在0≤x≤a．0≤y≤a/2范围内有垂直于xy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。坐标原点O处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xy平面内，与y轴正方向的夹角分布在0～90°范围内。己知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于a/2到a之间，从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一。求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的：①速度大小；②速度方向与y轴正方向夹角正弦。

【解析】：(1)设粒子的发射速度为v，粒子做圆周运动的轨道半径为R，由牛顿第二定律得

 ①

由①式得 ② 

当a/2＜R＜a时，在磁场中运动时间最长的粒子，其轨迹是圆心为C的圆弧，圆弧与磁场的上边界相切，如图所示。设该粒子在磁场中运动的时间为t，依题意t=T/4，得 ③ 

设最后离开磁场的粒子的发射方向与y轴正方向的夹角为α，由几何关系可得

 ④ 

Rsinα=a-Rcosα ⑤

又sin2α+cos2α=1 ⑥ 

由④⑤⑥式得 ⑦ 

由②⑦式得 ⑧ 

(2)由④⑦式得 ⑨