追本溯源， 探究问题的本质

------失效的数学归纳法

数学归纳法是数学上证明与自然数有关的命题的一种特殊方法，它主要用来研究与正整数有关的数学问题，在高中数学中常用来证明与自然数有关的等式及不等式， 尤其在数列问题中应用广泛.  而在学生的心目中数学归纳法在这些问题的证明中是万能的方法.在2013年高考数学全国大纲卷第22题中， 遇到了这样一个问题：

证明不等式

典型的与自然数有关的不等式， 首先用数学归纳法来证明.

证 （1）当时， 左边=， 右边， 即左>右， 所以当时不等式成立.

（2）假设当时， 不等式成立， 即

当时

=

>

=

=

我们要证明， 显然数学归纳法无法完成任务了， 不禁要问到底是什么导致了这种情况的发生呢？ 数学归纳法到底有什么适用范围呢？ 那就要首先清楚数学归纳法的本质.

先以一个简单的题目为例， 证明

                                ……………………….（1）

先只研究”归纳递推”这一证明的关键步骤，

假设当时， 不等式成立， 即

当时

所以只需证明

  即证 

只需证

                                                 …………….(2)

令， 则只需证， 这就是常用的对数不等式. 其实， 我们再来看要证的不等式（1）， 左边是数列的前项和， 如果将右边也看成是数列的前项和， 则只需要证明， 则有

而当时，

所以要证明（1）式，只需证明， 这与数学归纳法中的（2）式不谋而合， 这其实就是数学归纳法证明的关键步骤， 与数列不等式中常用的“逐项比较”的方法如出一辙.

   再来审视关键之步（2）式， 与函数有着密切的关系， 而在微积分中是的一个原函数， 他们之间到底隐藏着什么关系呢？

我们研究函数在区间上的定积分， 首先将区间分成等份， 如图1所示， 因为函数在上单调递减， 在第个小区间上有

    （3）

在图1中记曲边梯形ABCD的面积为， 矩形ABED的面积为, 矩形ABCF的面积为， 上述不等式在图1中有， 所以数学归纳法核心之步的放缩是用矩形ABED的面积大于曲边梯形的面积.

我们再回归正题：

=

考察函数， ， 将分成等份， 由于函数在上单调递减， 在第个小区间 上有

     （4）

由于， 所以有

所以

与我们证明的问题有些差距， 显然我们（4）式的放缩是在图2中矩形ABED的面积大于曲边梯形ABCD的面积， 放缩的太宽泛了. 我们要寻找更贴近曲边梯形面积的放缩方式，  如果用图中梯形ABCD的面积大于曲边梯形的面积会出现什么效果呢？

     （5）

因此

即 

在此我们证明问题多的核心步骤在于（5）式的证明， 在（5）式中令， 则， 故只需证明. 我们再来看2013年高考数学全国大纲卷第22题

已知函数

（ = 1 \* ROMAN I）若时，，求的最小值；

（ = 2 \* ROMAN II）设数列

这样我们就不难理解本题为什么这样出题了.

结束语

通过本文的讨论可以清楚的看到数学归纳法与数列中的“逐项比较“以及利用定积分的方法放缩本源一致，在本问题的解决中关键是利用了函数时下凸函数的性质， 才有了梯形的面积大于小曲边梯形的面积， 其实关于下凸函数有如下的性质:

（Hadamard定理）设函数是上连续的凸函数. 试证明： ， ， 有

通过定积分的放缩让我们更加清晰的认识了问题的本质， 因此也就可以构造更多类似的题目. 在教学过程中， 引导学生追本溯源， 探究问题的本质， 可以更多的感受到数学的魅力， 激发学生学习数学的兴趣.