第三章 函数的应用

3.1.1 方程的根与函数的零点

学习目标

1、理解函数零点的定义;

2、掌握方程的根与函数零点的关系，以及会求函数的零点;

3. 理解函数的零点存在性定理，并会用于解决相关的问题.

自主学习

一.基础知识

1、函数零点的定义：

   对于函数y=f(x),我们把使的实数叫做函数y=f(x)的零点.(例如:对于函数,使得,故是函数的零点.)

注意: ①函数的零点不是一个点, 而是一个实数,且满足; ②并不是所有的函数都有零点,正如不是所有的方程都有根一样.例如函数没有零点,其对应的方程也没有实根.

2、一元二次方程的根与二次函数的零点

(1). 填写下列表格

(2). 对于二次函数与二次方程，其判别式, 我们可以得到以下结论:

注意：一元二次方程的根与对应的二次函数的图象关系:①根的个数和函数图像与轴的交点个数相同;②方程的根就是函数图像与轴的交点的横坐标.

3、方程的根与函数的零点的关系

函数的零点、方程的实数根、函数的图象与x轴交点的横坐标，三者之间相互等价,即

.

4、零点存在性定理

(1). 观察函数的图像,并回答以下问题:

由此,我们可以得到:

(2).零点存在定理

   如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有

，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个就是的根.

例如:观察右侧函数的图象，用零点存在定理完成下列填空

①<, 那么在区间上有零点； ②, 那么在区间上有零点.

注意: 零点存在定理在单调区间上可以是可逆的. 例如,函数

在有零点,即, 那么

二.基础巩固

1．的图象与轴的交点坐标及其零点分别是(　　)

A.  ; 　　　　　　　　   B． ;

C．；                      D．；

【解析】交点坐标是一组有序数对,而零点是一个实数.根据函数的图象, 容易发现它与轴的交点坐标为, 令, 解得,所以零点为. 故选B.

2．函数的零点是(　　)

A． 　　　　　　　　　　         B．    

C．                                             D． 

【解析】由,可得=0,根据对数函数的性质, 故函数的零点为.

3．函 数的零点所在的大致区间为(　　)。

A． 　　　　　　　　　　           B． 

C．                                          D． 

【解析】

通过计算,发现  ,则, 而的图像是连续的,故该函数的零点在区间上, 所以选C.

三、例题赏析与即使训练

例1.填空:

⑴方程       (有或无)根,若根存在,则它的根为         ，函数的图象与x轴有      个交点，交点坐标为                     ；

⑵若函数有一个零点是,那么函数的零点是           .

<解析> (1)该方程可以变成.因为 所以该方程有根. 又因为,所以方程的两根分别为和,由方程的根与函数的零点关系,函数的图象与轴有个不同的交点,交点坐标分别为和;(2)因为函数有一个零点是,所以,则.故.于是,零点为和.

注: 函数零点的求法主要有两种: ①代数法:求方程的实数根;②几何法:对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数的图象联系起来，图象与轴的交点的横坐标即为函数的零点．

即时训练:

1. 方程的解为          ，函数的图象与x轴有      个交点，

交点坐标为                      .

1.<解析>因为,所以方程的两根分别为和,由方程的根与函数的零点关系,函数的图象与轴有个不同的交点,交点坐标分别为和;

2. 函数有一个零点,则函数的零点是          .

2.<解析>因为函数有一个零点是,所以,则.故.于是,零点为和.

例2.求函数的零点所在的区间,并判断零点的个数.

分析: 运用零点存在定理判断零点是否存在,或者由得,在同一个直角坐标系下作出的图像后再进行分析.

<解析>法1(零点存在定理):因为 所以该函数在区间内有零点.又因为函数在定义域上是增函数,所以该函数只有一个零点.

法2(图像法): 在同一个直角坐标系下作出 的图像如右图, 由图可知,零点在内且只有一个零点.

注: 如果函数在区间内为单调函数,则此函数在区间内最多只有一个零点(若端点的函数值异号,即,则有且只有一个零点,否则没有零点).

即时训练:

3. 求函数的零点的个数.

<解析>

因为,所以,故函数

在区间内有零点.易知,该函数在上单调递增,于是, 它有且只有一个零点.

例3.函数的一个零点在区间上,另一个根在区间上,求的取值范围.

分析: 函数的零点在这两个区间上,说明方程就在这两个区间上.

<解析>设 则方程的根一个在上,另一个根在上,等价于

故 

即时训练:

4.若方程在内有解,求的取值范围.

<解析> 设 则函数在上有零点. 因为,所以二次函数的对称轴,故在上单调递减. 于是,,即,解得 

5.若函数有两个零点,求实数的范围.

分析: 构造函数,函数有两个零点,即的图像有两个交点.

<解析>令,作的图像如右图.

由图像可知,当或时,函数有两个零点.

注: 把函数的零点问题转化为两个函数图像的交点问题,两个函数的构造要遵循易作图,易找交点的原则,这样利用数形结合的方法才能直观简单快捷地求解.

合作交流

1.如果函数在区间上有零点,那么是否一定有?

解:不一定,例如函数在区间上有零点,但是.此外,在区间上, 

2. 函数满足f(1)·f(-1)<0,那么我们能否用零点存在定理说明该函数在(-1,1)上有零点吗？为什么？

解:利用零点存在定理,判断函数零点存在性有两个条件,两个条件缺一不可:⑴函数的图像在区间上是一条连续不断的曲线; ⑵. 函数在上并不是连续的曲线,虽然满足,但不能说明该函数在(-1,1)上有零点.

当堂训练

1.函数的零点所在的一个区间是(     )

A． 　　　　　　　　　　            B． 

C．                                           D． 

【解析】通过计算,容易发现则由零点存在定理可知, 函数的零点落在区间上, 故选B.

2.函数的零点的个数是(       )

A． 个 　　　　　　　　　　                 B． 个

C． 个                                           D．3 个

【解析】因为, 所以由得

. 显然,该方程的根为, 由方程的根与函数的零点的关系知, 函数的零点有三个,分别为 故选D.

3.函数的一个零点在原点,则它的另一个零点是(     )

A．  　　　　　　　　　　               B． 

C．                                          D．  

【解析】依题意可得, 则. 于是,函数为, 又由可得, 可知方程的根为, 由方程的根与函数的零点的关系知, 函数的另一个零点是, 故选C．

4.若二次函数没有零点，则m的取值范围是                     .

【解析】因为二次函数没有零点,所以二次方程无实数根, 由二次函数的性质可知, , 可得 , 于是可以为任意实数, 应填.

5.已知关于的二次方程有两个根,且一根大于,一根小于,试求实数的取值范围.

【解析】交令 依题意知, 函数有两个零点,且一个大于,一个小于, 所以 的图像大致如图所示

 

①                                 ②

则应满足 

即 

解得 故的取值范围为.