§1.1.1  集合的含义与表示

一、教材分析：集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上。另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域种得到应用。

二、课    型：新授课

三、教学目标：

1.通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的理解集合“属于”关系；能选择集合不同的语言形式描述具体的问题，提高语言转换和抽象概括能力，树立用集合语言表示数学内容的意识。

2.了解集合元素的确定性、互异性、无序性，掌握常用数集及其专用符号，并能够用其解决有关问题，提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的应用意识。

四、重点难点

教学重点：集合的基本概念与表示方法；

教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合。

五、教学过程

（一）导入新课

     在初中的学习中，我们常接触到这样的题目：

将下列各数填入适合的括号内

6，，，0，3.2，2，，-2.03

正数集合：﹛                          …﹜；

非负数集合：﹛                          …﹜；

……

这其中，集合对我们来说并不陌生，但未曾深入学习研究。今天，我们来具体学习集合的含义与表示。

（二）推进新课

1.给出集合的含义

（1）集合：把所要研究的对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合。

     举例：①如果要研究分析我班同学的成绩，那么我班同学的成绩就可以构成一个集合，其中每位同学的成绩都是构成此集合的元素；

②1～20以内的所有质数；

③校园里的树木。

小结：生活中有很多东西能构成集合。

（2）集合与元素的表示

我们通常用大写拉丁字母A,B,C……表示集合，用小写拉丁字母a,b,c……表示集合中的元素。

举例：如果用A表示高一（3）班全体学生组成的集合，用a表示高一（3）班的一位同学，b表示高一（4）班的一位同学，那么我们说：a属于集合A的元素，b不属于集合A的元素，分别记作：,  .

小结：元素与集合的关系有两种：属于和不属于。

（3）元素的特征

①确定性

举例：请我们班身材比较高大的同学起立，（沉默片刻）这时，有的同学不确定自己是否要起立。

所以，给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这集合中就确定了，例如请我们班身高170厘米以上的同学起立，此时大家便都十分确定是否要起立。

　　起立的这些同学构成了一个集合，在这个集合中，每一位同学都是独一无二的，没有重复，这是集合的元素具有的第二个特征：互异性。

②互异性：一个给定的集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素不重复出现。

举例：的解集

　　　此方程有两个相等的实数根，即，它的解集只有“1”这一个元素。

③无序性

举例：由实数1，2，3组成的集合记为M，由实数3，1，2组成的集合记为N，这两个集合中的元素相同，所以集合M和N相同，这说明集合中的元素具有无序性，即集合中的元素是没有顺序的。

可以发现：构成两个集合中的元素是一样的，就称这两个集合是相等的。

2.常用数集及其记法

非负整数集（或自然数集），记作N

正整数集，记作或；

整数集，记作Z

有理数集，记作Q

实数集，记作R

强调：在通常情况下，大写的英文字母N,Z,Q,R不能再表示其他的集合，这是专用集合表示符号，类似于110、119等专用电话号码一样，以后，我们会经常用到这些常见的数集，要求熟练掌握。

3.集合的表示方法

①字母表示法：大写的英文字母表示集合，例如常见的数集N,Z,Q,R，所有的正方形组成的集合记为A等等；

②自然语言：用文字语言描述出集合，例如“所有的正方形”组成的集合等等；

③列举法：把集合中的全部元素一一列举出来，并用大括号“｛｝”括起来表示集合，这种表示集合的方法叫做列举法。例如：A＝﹛a,b,c﹜

学生自学课本例1：用列举法表示下列集合：

（1） 小于10的所有自然数组成的集合；

（2） 方程的所有实数根组成的集合；

（3） 由1～20以内的所有质数组成的集合。

解：（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A,那么

A＝﹛0，1，2，3，4，5，6，7，8，9﹜

由于元素完全相同的两个集合相等，而与列举的顺序无关，因此集合A可以有不同的列举法。例如

A＝﹛9，8，7，6，5，4，3，2，1，0﹜

（2）设方程的所有实数根组成的集合为B，那么

B＝﹛0,1﹜

(3)设由1～20以内的所有质数组成的集合为C，那么

C＝﹛2，3，5，7，11，13，17﹜

再提出问题：你能用列举法表示不等式＜的解集？

这个集合中的元素有无数个，不适合用列举法表示。但是，我们可以用这个集合中元素所具有的共同特征来描述。

④描述法

不等式＜的解集中所含元素的共同特征是：，且＜，即＜10.所以我们可以把集合表示为

D＝﹛＜10﹜

像这样用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法。

具体步骤：1.用字母分别表示集合和元素；

          2.用数学符号表达集合元素的共同特征；

          3.在大括号内先写上集合中元素的代表符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。

一般形式：A=﹛…|…﹜

小结：①描述法适合表示有无数个元素的集合；

②当集合中的元素个数较少时，通常用列举法表示，否则用描述法表示。

强调：描述法表示集合应注意集合的代表元素

比较下列各个集合：
①{ | }＝﹛﹜；

②{ | }＝﹛﹜；

③﹛|﹜是一个点集。

4.应用

例2：分别用列举法和描述法表示下列集合

（1） 方程的所有实数根的集合；

（2） 有大于10小于20的所有整数组成的集合。

解：（1）设方程的实数根为，并且满足，因此，用描述法表示为

A＝﹛﹜

方程有两个实根、，因此，用列举法表示为

A＝﹛，﹜。

（2）设大于10小于20的整数为，它满足条件，且10＜＜20，因此，用描述法表示为

B＝﹛10＜＜20﹜

大于10小于20的整数有11，12，13，14，15，16，17，18，19，因此，用列举法表示为

B＝﹛11，12，13，14，15，16，17，18，19﹜

5.课本练习

（三）总结

本节学习了：

（1） 集合的概念；

（2） 常见数集；

（3） 集合的表示法。

（四）作业

课本习题1.1  A组2、3、4

（五）板书设计

一、集合的有关概念           二、常用数集              四、总结

1.集合含义                   三、集合的表示            五、作业

2.集合与元素的表示             1.列举法

3.元素的特征                   2.描述法

①确定性②互异性③无序性