研究性学习教学案例：购房中的数学问题

授课教师：吴文  北师大附中（珠海）

一、使用年级及对象：高二级学生

此课题选自普通高中新课标人教版数学教材必修五，是高二数列部分的教学内容。本课旨在使学生了解数列在解决实际问题中的应用，体会实际问题数学化的方法。

二、教学课时：2个课时

三、教学目标：

（1）知识与技能目标：掌握分期付款概念，学会不同付款方式的计算方法。

（2）过程与方法目标： 初步学会用数列解决分期付款问题，提高学生处理数据和应用（包括运用计算器）的能力

（3）情感、态度、价值观目标：培养学生学习和探究数学的兴趣，培养学生的团结协作精神，了解数学的应用价值，提高数学应用意识，激发学习数学的兴趣和积极性。

 四、教学重点、难点分析：

    研究性学习是一种新型的教学方式，它需要教师转变观念，关注学生思维发展过程，重视学生的探究、参与，因此我认为本节课的重点是探究分期付款中的有关计算。

    学生有了等比数列知识作基础，在探究解决这一问题时，在知识上不会有太大困难，关键是了解分期付款中的有关规定，因此我认为教学难点是理解贷款金额与每期付款的增值规律。

五、教学方法及策略：

（1）提出问题、激发兴趣

（2）学生分小组，合作学习更高效

（3）合作探究，分析数据，借助信息技术进行数据处理。

（4）总结解决问题的全过程，反思结果对实际问题的指导作用

六、教具、实验室等教学资源：

（1）资料：全日制普通高级中学教科书

（2）工具：计算机、背投，ppt课件
（3）辅助材料：《数列》，《数学建模》等知识，计算器使用方法。

七、教学过程设计：

（一）准备：1.学生以自愿为原则分小组，全班共四个小组

            2.学生上网或到图书馆查找“购房贷款”的主题资料。

（二）问题引入：

    有一位居民，决定重新购房。某日，他来到了一个房屋交易市场。面对着房地产商林林总总的宣传广告，是应该买商品房还是二手房呢，他一时拿不定注意。这位居民根据搜集的一些住房信息，列出了他的家庭经济状况和可供选择的方案如下：

    家庭经济状况：家庭每月总收入3000元，也就是年收入3.6万元。现有存款6万元，但是必须留2—3万元以备急用。

预选方案：1、买商品房：一套面积为80平方米的住宅，每平方米售价1500元。

          2、买二手房：一套面积为110平方米的二手房，售价为14.2万元，要求首付4万元。

    购房还需要贷款。下面我们将来了解关于贷款以及还款的相关信息，然后请你用我们学过的数列知识帮这位居民算一算这笔经济帐。你认为预选方案1、2到底哪个是他的最佳选择？

（三）小组自主学习活动：

（1）分析银行贷款信息，寻找突破口

    这位居民选择了一家银行申请购房贷款。该银行的贷款评估员根据他提供的信息，向他提供了下列信息和建议：申请商业贷款，贷款期限为15年比较合适，年利率 5.04%(02年的利率)。购房的首期付款应不低于实际购房总额的20%，贷款额应不高于实际购房总额的80%。 还款方式为等额本金还款，如果按季还款，每季还款额可以分成本金部分和利息部分，其计算公式分别为：

     本金部分=贷款本金÷贷款期季数

     利息部分=（贷款本金—已归还贷款本金累计额）×季利率

（2）了解参考资料，深化认识

    贷款买房时，购房者首先与房地产开发商签定房屋购买合同，然后与银行签定贷款合同。用这套住房作为抵押，向银行申请贷款。银行在审查同意你的申请后，通常会将住房总价值的70%或80%直接划给房地产开发商。这时候，购房者只需要拿出住房总价值的30%或20%（通常叫做首期），就可以搬进新房了。其余的款项，购房者以一定的利率，逐月(季)偿还给银行，偿还期限短则3-5年，长则15年、20年、甚至30年。

    二手房即旧房。新建的商品房进行第一次交易时称为“一手”，第二次交易称为 “二手”。二手房贷款是向购买二手房的购房者提供贷款，由借款人分期还款的贷款方式。

    目前银行规定有两种还款方式：（1） 等额本息还款法；（2）等额本金还款法。等额本金还款法的特点是：每期还款额递减。利息总支出比等额本息还款法少。等额本金还款法可以是按月还款和按季还款。由于银行结息惯例的要求，一般采用按季还款的方式。

    对于家庭经济收入的分配，国内外经济学家提供了下述参考标准：家庭收入的30% 用于偿还购房贷款，30%用于投资储蓄，20%用于子女教育，20%用于日常开销。因此，偿还购房贷款的金额占家庭总收入的20%~30%为宜。

（四）确定各小组分工：

第一、二小组：若按方案1，贷款15年，用等额本金的办法每季度需还款多少钱？15年总还款多少钱？

第三、四小组：若按方案2，贷款15年，用等额本金的办法每季度需还款多少钱？15年总还款多少钱？

（五）各小组内自主分工合作，借助信息技术解决问题

（六）展示学习成果与问题解决：

方案1 如果首付3.6万（约为住房总价值的30%），贷款8.4万，季利率5.04%÷4=1.26%，以贷款期为 15年为例。

每季等额归还本金：84000÷（15×4）=1400（元）

第1个季度利息：84000×1.26%=1058.4（元）

则第1个季度还款额：1400+1058.4=2458.4（元）

第2个季度利息：（84000-1400×1）×1.26%=1040.76（元）

则第2个季度还款额：1400+1040.76=2440.76（元）

                     ……

第60个季度利息：（84000-1400×59）×1.26%=17.64（元）

则第60个季度（最后一期）还款额： 1400+17.64=1417.64（元）

问题：15年中每个季度支付的利息构成一个数列，这个数列有何特征？

是一个以1058.4为首项，-17.64为公差的等差数列！ 其和为：（元）

15年的总还款额：（元）。

方案2  因为首付4万，所以需要贷款10.2万，季利率5.04%÷4=1.26%，以贷款期为15年为例。

每季等额归还本金：102000÷（15×4）=1700（元）

第1个季度利息：102000×1.26%=1285.2（元） 

则第1个季度还款额：1700+1285.2=2985.2（元）

第2个季度利息：（102000-1700×1）×1.26%=1263.78（元）

则第2个季度还款额：1700+1263.78=2963.78（元）

                  ……

第60个季度利息（102000-1400×59）×1.26%=21.42（元）

则第60个季度（最后一期）还款额：1700+21.42=1721.42（元）

问题：15年中每个季度支付的利息构成一个数列，这个数列有 何特征？

是一个以1285.2为首项，-21.42为公差的等差数列！其和为：（元）

15年的总还款额：（元）

 

结论：建议这个居民采用方案1，理由如下：

（1）因为这个居民每月的家庭总收入为3000元，那 么每个月用于偿还购房贷款的金额为600～900元比 较合适，每个季度为1800～2700元。如果采用方案1，满足上述条件。如果采用方案2，由于15年中每季度需支付的还款额构成一个首项为 2985.2 ，公差为d= -21.42的等差数列。

，则n<15, 这说明方案2不能满足条件。

（2）以贷款15年为例，方案2比方案1需要多支付利息：39198.6-32281.2=6917.4（元）。

（3）方案2中的住房是旧房，使用年限较短(房子的使用年限一般规定是70年)。

（七）问题深化，形成公式 ： 

 对于分期付款问题能否总结出一个计算公式？

 一般地，采用上述分期付款方式贷款a元，m个月内将款全部付清，月利率为r，那么每月付款额的计算公式是什么？由学生自己推导得出

 

  （八）小结与评价：

通过这个问题的解决你有什么收获？有什么想法？

请你评价小组成员的表现。

八、教学反思：

（一）问题的背景：当前，随着经济发展和改革的深入，在商品市场上，消费者购买住房、汽车等价值较 高的商品时，为缓解资金的暂缺，消费者可向银行申请贷款，采取分期付款方式。高中数学必修五数列的“探究与发现”内容中介绍了分期付款的一个数学模型，即“等额本金”付款法 ，是一个等差数列的数学模型。以前客户在办理贷款时，银行一般都默认采用等额本息法。而现在的人们的金融意识越来越强，懂得如何保护自己的合法利益，“等额本金”付款法是很多人的选择，本次活动旨在通过对这个问题的研究，了解“等额本金”付款法的计算过程，深化数列学习，对学生的学习、生活都有很大帮助。

（二）活动设计的目的： 通过对购房还款方案选择的研究过程： 1.使学生清楚的看到课本中数学知识（数列）在金融和社会生各个领域中应用的鲜明 的背景。学生通过自主参与类似于科学研究的学习活动，获得亲身体验、体会学习数学的 一个重要功能，适应社会发展的需要，激发他们对学习数学的兴趣和动力，产生积极情感， 激发他们探索、创新的欲望。同时也让学生懂得数学来源于社会实践，也为社会服务。 2.提高学生归纳、总结问题能力；掌握数学建模的思想方法。学生通常围绕一个需要 解决的实际问题展开。在学习的过程中，通过引导和鼓励学生自主地发现和提出问题，设 计解决问题的方案，收集和分析资料，调查研究，得出结论并进行成果交流活动，引导学 生应用已有的知识与经验，学习和掌握一些科学的研究方法。 3.突破中学数学教学中的难点——应用问题、复杂和烦琐的计算。培养学生数学地了解问题、分析问题和解决问题的能力，提高学生研究能力和数学交流能力。学生要认真、 踏实的探究，实事求是地获得结论，尊重他人想法和成果，养成严谨、求实的科学态度和 不断追求的进取精神，磨练不怕吃苦、勇于克服困难的意志品质。 4. 合作的意识和能力，是现代人所应具备的基本素质。研究性学习的开展将努力创设 有利于人际沟通与合作的教育环境，使学生学会交流和分享研究的信息、创意及成果，发 展乐于合作的团队精神和合作意识，使学生在合作中体会到合作的重要性、有效性，进一 步发展学生的数学实践能力。

（三）从学生的活动方面来说。此次研究性学习锻炼了学生的实践能力和解决问题的能力。学生利用所学课本知识和自己了解到的及教师提供的资料和信息自主地去完成，学生们进行了交流与合作，对这些信息进行了归纳总结，并以小组为单位提交了书面结果。此次开展的研究性学习与我们当前开展的培养学生创新性能力的宗旨上是一致的，既有利于学生课本知识的掌握，又有利于学生实践能力和研 能力的提高，激发了学习兴趣。在学习方式上既能发挥学生的主动性，由学生自主地完成研 究过程，又要发挥教师的创造性，这一点特别重要。

（四）教学评价旨在反思，目的在于了解学生的学习进程和学习能力，而不是流于外在的形式。在传统教学评价中没有发挥学生主动性的过程中，研究性学习的评价内容与方式必须充分关注学习态度，重视学习的过程与方法，重视交流与合作，重视动手实践。不仅考察学生结论和结果的创造性和正确性，还要对学习的内容和过程进行反思。我认为，最重要的在于学生在学习过程中真正的发挥了自主性，进行了创造性的思考，鼓励他们点滴进步。因此，本次学习的评价没有用测试来反映，而是通过小组成员互相评价来体现，以鼓励为主。

九、专家点评：

（1）课题选择符合课改理念

   《课程标准》要求学生把数列作为描述客观世界的重要数学模型来学习。基于此，吴老师选择了“购房中的数学问题”为教学内容，期望学生亲身经历一个自主探究、动手实践、合作交流的学习过程。选题符合新课程理念。

（2）教学方式灵活

    本节课吴老师采用了课内外结合的方式。即，第一课时：阅读教材提供的背景资料——提出要解决的实际问题——学习小组布置研究任务——对方案进行师生交流。课外：各学习小组收集相关数据，并借助信息技术辅助处理数据——建立数学模型——用模型解释所实际问题。第二课时：师生交流方案1、2的研究结果——各组报告结果对解决实际问题的指导作用、合作的经历、遇到的困难等——学生互相评价。 在这样一个数学学习过程中，加深了学生对数列的认识，体验运用数列建立模型的过程和方法，较好的把握了促进学生对数学认识的机会。 

（3）注重问题引领

    在解决问题的每一个环节上，吴老师注重用问题引领学生进行探索，使学生在整个学习过程中充满着数学的观察、数学的思考，同时也将学生始终置于“问题场”的情景中，较好的体现了以问题为载体的数学学习的过程，使学生认识到数学与生活的紧密联系，从而体会数学应用的价值。

（4）恰当的引导学生借助信息技术解决问题

    我们常常说：数学有用、能用，可是实践中，学生运用已学数学知识解决实际问题时，仍然会遇到较大的障碍。但是，教材+技术就不一样了。由数学的一些基本知识，再借助信息技术，就有可能帮助学生去建立满足所收集数据的一个数学模型，尽管这一模型会有一定的误差，但这毕竟来自于学生本身的一个问题解决的过程，至少在他们的认识层面上，体会到利用技术帮助实现对数学知识的理解、对数学应用价值的认识、对终身学习能力的提升、对可持续发展奠定的基础等。

    最后，特别要说明的是，不论使用何种现代技术辅助数学教学，均不能为了技术而用技术，而是借助这样的技术平台，引发学生更深层次的数学思考，体会数学的多重表示，激发探究的欲望，拓展学习的视野及空间。因此，要合理的、非盲目的指导学生运用信息技术。