平面向量中一个命题的证明及其推广应用

华南师范大学附属中学 申西芬 （510630）

【摘要】本文针对在高中数学平面向量


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 




平面向量基本定理中的出现一道证明题，利用平面向量基本定理给出命题的证明过程并根据条件给以推广应用。得出一个结论，平面内直线外一点与直线上不同的三点构成三个向量（以线外一点为起点），以任何一对作为一组基底来表示第三个向量，其系数之和恒为1.在做题中我们可以利用其结论来简化相关的一些问题，尤其是在练习中，对于客观题则可以节约一定的时间，对于解答题则可以用来验证检查，从而提高答题的效率和准确率。

【关键字】平面向量； 基底； 共线

【作者简介】申西芬，1984年9月出生，女，籍贯安徽阜阳，硕士学位，中学一级。通讯地址：华南师范大学附属中学数学科，电话：18988977707，邮箱：sxf2010@126.com.

在中学数学的学习中，通常具有一般性的真命题会被当成定理来学习并推广应用，然而也有正确的命题并未被收录在教材中，但是在做题中我们可以利用其结论来简化相关的一些问题，尤其是在考试中，对于选择和填空题型可以节约一定的时间，对于解答题则可以用来验证检查，从而提高答题的效率和准确率。本文就是针对在高中数学平面向量中的出现一道证明题，给出其证明过程和推广应用。

1 问题的提出与证明

如图1，已知直线

，

若向量



则

证明：设

则

命题得证。

我们对上述证明过程中的式子

变形可得，

易得两式右边向量系数之和均为1.因此命题得以推广，得到推论：推论：平面内直线外一点与直线上不同的三点构成三个向量（以线外一点为起点），以任何一对作为一组基底来表示第三个向量，其系数之和恒为1。

2 推论的应用

利用上述结论，我们可以很方便的解答一些相关题目，下面通过两个例子来说明。

例1 设

分别是

的边

上的点，

若

(

)，则

的值为      。

分析：这是2013年江苏卷，5分的填空题。那么这一题便可以利用上述结论来做。

 

 

 

 

 
  
   
   

    
     
    
   

?

   
 
  
   
   
    
     
    
   

2

   
 
 
  
  
   
    
   
  

C

  

 
  
  
   
    
   
  

E

  

 
  
  
   
    
   
  

B

  

 
  
  
   
    
   
  

D

  

 
  
  
   
    
   
  

A

  

 
 
  
 
 
 
  
 
 
 
  
 
 
 
  
 
 
 
  
 

解：法1：下面我们用本文的结论来求

。

设

，则

,变形得，

,则

，又

解得

，即

法2:一般方法求解：

又

，解得

.

 3 结语

通过以上两个例子，我们不难发现，本题的结论具有推广价值，它对于解决诸如例题中的问题不失为一种很简洁的方法和思路，从这里也可以看出数学解题中一种常见的思路，对于具有普适性的结论我们可以启发学生多思考多记录多累积，从而能作为解决其他相关问题的基础，如此便可以解决一些客观题，提升学生在有限时间内解决问题的效率和准确率。但是本文的结论也有其局限性，可应用的解题范围较为狭窄，条件的限制也较为严格，不过这也恰好是个优点，条件很是明确，注意三点的共线，四点的不共线，注意向量的方向性，只要掌握了它的精髓，使用起来还是很便捷的。

参考文献

[1] 曲一线.五年高考三年模拟：人教A版.高中数学.4:必修（M）.教育科学出版社；首都师范大学出版社2007.68-69

[2] 《高考一轮总复习》编写组.走向高考（M）.中国和平出版社；世界图书出版社2016.247

[3] 中学数学课程教材研究开发中心.普通高中课程标准实验教科书数学必修4 A版(M).人民教育出版.2007.70-79