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1.1.1 集合的含义与表示
(荣超中学教学模式)
学习目标
1.理解元素与集合的概念及它们之间的属于关系;
2.理解集合元素的确定性,互异性和无序性,并会用这三个性质解决相应的问题;
3.会用列举法,描述法表示相应的集合.
自主学习
一.基础知识
1.集合的概念:一般地,我们把研究对象称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合,我们通常用大写的字母表示集合,用小写字母表示元素.
2.集合相等:如果两个集合中的元素是一样的,我们就称这两个集合相等.
3.元素与集合之间的关系:如果元素是集合的元素,就说属于集合,记作;如果元素不是集合中的元素,就说不属于集合,记作.即元素与集合之间的关系是“属于”或“不属于”.
例如:如果集合表示的是所有奇数组成的集合,则有,.
注:必须把数学中一些常用的数集及其记法背诵下来,后面常用.
4.集合的表示
(1)列举法:把元素一一列举出来,并用大括号“”括起来表示集合的方法.
例如:①元素组成的集合可以表示为;
②元素为小于的正偶数组成的集合可以表示为.
(2)描述法:用集合所含元素的共同特征表示集合的方法,格式为元素符号元素的共同特征或限制.
例如:①绝对值小于的实数组成的集合可以表示为,也可以表示为
②一元二次方程的实数根组成的集合可以表示为,
也可以表示为.
注:I.在后续的学习中,一般研究的范围都是实数范围,所以限制条件一般是可以省略的.
II.一般表示元素个数有限且比较少的集合都采用列举法,表示元素个数无限的或比较多的都采用描述法.
(3)Venn图(韦恩图-第二节会详细讲,有兴趣的同学可以查看课本P6).
5.集合元素的性质
(1)确定性:给定的集合,它的元素必须是确定的,也就是说给定一个集合,那么任何一个元素在不在这个集合都是确定的.
注:确定性主要见于判断元素组成的总体是否组成集合.
例如:判断以下元素的全体是否集合,并说明理由.
①小于的自然数; ②比较大的数; ③锐角三角形.
解:因为随意给定一个元素,我们都可以判断这个元素是否满足“小于”,所以①符合集合的确定性,所以①组成集合.
因为随意给定一个数,我们无法判断是否满足“比较大的数”(我们可以说比较大,也能说比较小),所以②不符合集合的确定性,所以②不是集合.
因为任意给定一个三角形,我们是可以判断它是不是锐角三角形的,所以③符合集合的确定性,
所以③是集合.
(2)集合的互异性:一个给定集合中的元素互不相同,也就是说集合中的元素是不重复的.
例如:若集合,则根据集合的互异性有且.
注:集合的互异性在含参数集合的考查中比较容易忽略,请大家谨记.
(3)集合的无序性:集合与元素表示的顺序无关的.
例如:小于的自然数可以表示为,也可以表示为,还可以表示为,所以一个集合利用列举法表示时,可以有不同的列举方法.
二.基础巩固
1.下列各组对象:①接近于实数的所有实数;②直角坐标系中到原点距离为的点的全体;③学校成绩非常好的所有学生;④满足不等式的所有实数;其中能构成集合的是 (填序号).
【分析】判断元素的全体是否构成集合的关键在于是否满足集合的确定性,即任意给定一个元素,该元素属于或不属于该集合是确定的.
【解析】任意给定一个数,无法明确的判断是否接近于,所以①不符合集合的确定性,所以①不能构成集合;在直角坐标系中任意给定一个点,我们是可以明确的判断该点到原点的距离是否为的,所以②是符合集合的确定性,所以②构成集合; 任意一个学生的成绩在没有任何标准的情况下,我们是无法判断学生的成绩是好,还是坏的,所以③不符合集合的确定性,所以③不能构成集合;任意给定一个实数代入不等式,我们即可明确的判断是否满足不等式,所以④是符合集合的确定性的,所以④构成集合,综上填②④.
2.下列说法:
①集合可以表示为;②方程的解构成的集合为;
③;④近似值的全体可以构成集合;其中说法正确的是 (填序号).
【解析】根据集合的无序性可得集合,所以①是正确的;根据集合的互异性(一个集合中任意两个元素是不相等的)可得②是错误的;把代入可得不满足,
所以,所以③是错误的;任意给定一个数,无法明确判定是否为的近似值,所以不符合集合确定性,所以④是错误的;综上填①.
3.用适当的方式表示下列集合:
(1)方程的所有实数根构成的集合;
(2)小于的所有自然数构成的集合;
(3)不等式的解集;
【解析】(1)因为或,所以用列举法表示
方程的所有实数根构成的集合为;
(2)利用描述法可得小于的所有自然数构成的集合为,列举法可得;
(3)解不等式,所以用描述法表示不等式的解集为
三.典例赏析与即时训练
例1.下来说法中,正确的个数为( )
①若且,则; ②若,则;
③集合表示的是所有奇数构成集合; ④.
A. B. C. D.
解:因为都为自然数,不妨设,因为,所以①是错误的;当为自然数时,即,因为自然数也是有理数,所以,所以②是正确的;因为为整数,所以为奇数,且当取遍所有的整数时,取遍所有的奇数,所以③是正确的;把代入可
得,所以,所以④是正确的;故选D.
即时训练:
1.谈谈下列集合的含义,若为有限集(集合元素个数有限的集合),请用列举法表示.
(1); (3).
【分析】要理解和认识给定的集合需要抓住“元素”,明确集合的元素是什么,有何性质,需要满足什么条件,不能含混不清,模棱两可.
【解析】(1) 的表示直线图像上横纵坐标都是非负整数(自然数)的点
组成的集合,因为且,所以或,所以
;
(2) 表示函数中自变量的范围,因为处于被开方数,所以,即,该集合为无限集,不能用列举法表示.
例2.已知集合,若,求实数的取值集合.
解:因为,所以与其中一个相等,分为以下三个情况:
①当时,即,此时集合不符合集合的互异性,所以不符合题意;
②当时,即,此时符合题意;
③当时,即或,根据①可得不符合集合互异性,当时,符合题意;综上或.
即时训练:
2.实数集中的元素的值可以为( )
A. B. C. D.
【解析】分别把带入集合会得到两个相同的元素,都不符合集合的互异性,而代入可得符合集合的互异性,故选C.
3.若集合且,求实数的值.
【解析】因为,所以分以下三种情况:
①当时,即,集合符合题意;
②当时,即,集合不符合集合的互异性,故不符合题意;
③当时,即,由②可得不符合题意,当时,集合符合题意;
综上或.
合作交流
1.讨论即时训练第1题,谈谈集合与集合有什么不同?
【解析】第1题分析详见答案, 两个集合主要有以下三个不同的地方:
①集合与集合从元素上就是不一样的,集合是以坐标点作为元素,而集合是以两个数作为元素;
②集合只有点一个元素,集合两个元素;
2.讨论例2,谈谈解决此类题型需要注意些什么?
【解析】在此类参数的集合问题中,必须注意两点①注意检验结果是否符合集合的互异性;②根据集合与元素的对应关系,进行分类讨论.
当堂训练
1.用适当的符号填空:
(1) , ;
(2) ,
【解析】(1)把代入可得,所以,把代入可得,所以;
(2)把代入可得符合,因为,
所以,因为符合且,所以.
2.设集合;则下列各式中正确的是( )
A. B. C. D.
【解析】根据集合与元素的自己的关系可得,故选D.
3.若,则实数的值为 .
【解析】因为,所以与或相等,分为以下两种情况:
①当时,即可,符合题意;
②当时,即或,因为时,集合不符合集合的互异性,故舍去.
综上或.
课后作业
课本P11习题1.1A组1,2,3.
教学建议
课时:两个课时(学习目标,基础知识,基础巩固为第一个课时,典例赏析与即时训练,合作交流,当堂训练为第二课时).
教学流程:
1.安排课前预习课本内容,完成书本P5练习1,2;
第一课时
2.展示和分析数学目标(12min)
3.学生自主完成自主学习和基础巩固,老师巡视课堂,个别辅导,答疑和收集问题(1015min);
4.以基础巩固题目,讲解本节内容的基础知识,具体设计如下:
(1)以基础巩固第1题讲解集合的概念与确定性;
(2)以基础巩固第2题讲解集合的互异性与无序性;
(3)以基础巩固第3题讲解集合的表示(描述法与列举法).
注:本环节时2025min,尽可能调动学生的积极性,学生与老师互动完成.
5.布置作业:赏析学案[三.典例赏析与即时训练],完成[即时训练],并思考[合作交流]问题(安排时间收,并适当批阅).
第二课时
6.自主学习(重新思考典例赏析与即时训练,合作交流)(510min)
7.引导学生进行合作交流(35min);
8.讲解[典例赏析与即时训练],完成合作交流反馈(1520min),具体设计如下:
(1)讲解例1,重点分析集合与元素关系的判断;
(2)与学生互动分析即时训练第1题,反馈合作交流1成果,谈理解集合元素本质;
(3)讲解例2,分析含参集合问题,反馈合作交流2成果,强调集合互异性与分类讨论;
(4) 与学生互动分析即时训练第2,3题,加深对集合互异性的理解与应用.
9.进行当堂训练(57min);
10.讲评当堂训练(25min);
11.布置课后作业.
2015年