我说课的课题是《三角函数的定义》

一、教学重点、难点、关键

教学重点：任意角的三角函数的定义，明确对应法则和定义域。

教学难点：通过坐标求任意角三角函数值、判定三角函数的符号。

二、 教学目标

根据教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征 ，我制定如下教学目标：

 1.知识与技能目标：使学生正确理解任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义。理解三角函数是以实数为自变量的函数。

2.过程与方法目标：使学生经历从锐角三角函数的定义过渡到任意角三角函数的定义的推广,体验三角函数概念的产生、发展过程,培养合情猜测的能力。

3.情感态度与价值观目标：通过学习，渗透数形结合和类比的数学思想，培养学生良好的思维习惯。

三、教学程序及设想.

（一）创设情境——揭示课题

问题1：在初中我们学习了锐角三角函数，那么锐角三角函数是如何定义的？

 【设计意图】学生在初中学习了锐角的三角函数概念，现在学习任意角的三角函数，是一种推广和拓展的过程。温故知新，学生现有认知状况开始，让学生体会知识的产生、发展过程。

 问题 2：角的概念推广之后，这样的三角函数定义还适用吗？

 问题 3：若将锐角放入直角坐标系中，你能用角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？

 留时间让学生独立思考或自由讨论，教师参与讨论或巡回对学困生作启发引导。          

“能表示吗？怎样表示？”针对刚才的问题请学生回答。 用角的对边、邻边、斜边比值的说法显然是受到阻碍了，由于前面已经以直角坐标系为工具来研究任意角了，学生一般会想到（否则教师进行提示）继续用直角坐标系来研究任意角的三角函数。

【设计意图】从学生现有知识水平和认知能力出发，创设问题情景，让学生产生认知冲突，进行必要的启发，将学生思维引上自主探索、合作交流的“再创造”征程。

教师对学生回答情况进行点评后布置任务情景：请同学们用直角坐标系重新研究锐角三角函数定义！

师生共做（学生口述，教师板书图形和比值）。

问题 4：对于确定的角 ，这三个比值是否与P在的终边上的位置有关？为什么？

先让学生想象思考，作出主观判断，再引导学生观察右图，联系相似三角形知识，探索发现： 对于锐角α的每一个确定值，六个比值都是确定的，不会随P在终边上的移动而变化。

 

得出结论(强调)：当α为锐角时，六个比值随α的变化而变化；但对于锐角α的每一个确定值，六个比值都是确定的，不会随P在终边上的移动而变化. 所以，六个比值分别是以角α为自变量、以比值为函数值的函数。

（二）推广认知——形成概念

将锐角的比值情形推广到任意角α后，水到渠成，师生共同进行探索和推广出：任意角的三角函数定义。同时教师强调：由于弧度制使角和实数建立了一一对应关系，所以三角函数是以实数为自变量的函数，对数学学习能力较好的同学起到了很好的指导作用。

教师指出: sinα、cosα、tanα的定义域时必须紧扣三角函数定义，在理解的基础上记熟，cotα、cscα、secα的定义域不要求记忆。

【设计意图】定义域是函数两要素之一，研究函数必须明确定义域。指导学生根据定义自主探索确定三角函数定义域，有利于在理解的基础上记住它、应用它，也增进对三角函数概念的掌握。

（三）巩固新知——探求规律

为了使学生达到对知识的深化理解，进而达到巩固提高的效果，讲解例题。

例1.已知角 的终边过点  ，求的六个三角函数值。

例题分析：这是教材上的例题，是定义的直接应用。若已知角α的终边上一点的坐标，则可直接利用定义求三角函数值。

【设计意图】在刚刚学习完三角函数的定义后，马上进行加深训练，应用其解决问，及时反馈、形成技能。以达到熟练掌握三角函数定义式的教学目标。

事实上本题不仅是考察学生对定义式的熟记程度，而且还考察了学生对三角函数定义的来龙去脉是否真正理解。不论P点在终边上的位置如何，它们都是定值，它们只依赖于的大小，与点P在终边上的位置无关。利用终边上的任一点都可以求三角函数值。

这道题要求给出板书，可以通过提问学生口答教师板演的方式给出，或者是直接提问能力较强学生板演。以便给接下来的练习题解题过程提供参考模板。

上道题实际是很简单的，它主要是针对学困生的一道题目。可以让学困生也体会的成功的喜悦。满足不同层次学生的学习需求，激发他们的学习热情。所以巩固定义之后，我特地设计了一道即时训练题，在例题的基础上难度稍有提高。

练习：

例题分析：仍然是三角函数定义的应用。区别是根据t取值的正负，定义式中的r的表示也会不同。这恰恰是学生在计算中的难点问题。这就需要教师除了在之前讲解概念时给予提示还要再次强调r的值不论形式，本质上必须是正数。所以这道题要充分考虑t的正负，要分类讨论。在讲解时可以提出问题“r等于多少？”

【设计意图】在今后逐渐的学习中，对求任意角的三角函数值的要求越来越高，难度不能停留刚刚在例题的层次上。分类讨论一直是学生的薄弱环节，在此处补充这道题目，针对学生学习中的薄弱之处设计专项训练。一方面可以激发学生的求知欲，另一方面也可以巩固和加深学生对三角函数概念的理解，通过课堂积极主动的练习活动，培养学生分析解决问题的能力。

练习要分层次，练习题的编排要注意有一定的顺序，要做到由易到难、由浅入深，要注意应用组题来逐步加深练习的梯度。本题是例题的加深，同时也是模仿到再造，上一题之所以给出具体解题过程也是为本题做铺垫。总之习题之间的联系和配合，能够提高练习的整体效益。

例2. 求 的正弦、余弦和正切值。

例题分析：紧扣三角函数定义求解，通过分析-讨论法完成本题。以（1）为例，0角终边上有无穷多个点，根据三角函数的定义，只要知道0角终边上任意一个点的坐标，就可以计算这个角的三角函数值（或判断其无意义）。那么首先要在终边上取定一点。可是：终边在哪儿呢？取终边上哪一点呢？任意点、还是特殊点？可以师生共同讨论得出：只要能够算出三角函数值，都可以。当然取特殊点能使计算更简明。

【设计意图】本题看似简单，但对于学生来说由于刚刚接触三角函数，对其性质等都还未涉及，遇到特殊角、特殊位置，对定义中的x、y、r有些学生根本不会找。设计本题一方面，继续巩固三角函数的定义，达到熟练掌握的教学目标，这是本节课的重点。另一方面，体会特殊角中x、y、r之间的关系，并要求学生掌握这些特殊值，以及教材18页练习题A组第3题中这些特殊角的特殊值。还可以适当再给些特殊角让其完成。

（1.2.1练习A3）填表：求下列特殊角的三角函数值

角
弧度数
sin
cos
tan

这道练习题要求学生课下完成，并将结果熟记。在已经解决了其中几个问题的基础上，让学生解决剩下的几个问题，充分调动起学生解决问题的欲望，很好的培养了学生的自我意识与行动意识。

有时候由于课堂时间有限，不能将所以内容都在课堂上一一呈现，可这些知识点却需要了解掌握。这时可以通过留课下作业、课下思考题的方式达成目标。既可以作为课上知识巩固的一个延伸，又可以达到教学辅助的作用。

等待学生基本理解和掌握三角函数定义后，观察、分析三角函数值的正负与角所在象限的关系，然后引导学生紧紧抓住三角函数定义来分析，从而导出三角函数值的正负与角所在象限的关系，进而由教师总结符号记忆方法,便于学生记忆。

了解这个知识点后，进行巩固加深训练，使学生扎实掌握。

例3.

例题分析：本节课的难点，确定各式符号时先确定每个三角函数值的符号，即确定各角所在象限。进行到本节课的后半段题目的设计难度要有所提高。以有利于学生学习兴趣的激发和思维的发展，培养灵活应用知识和解决问题的能力。

【设计意图】判断三角函数值的正负符号，是本章教材的一项重要的知识、技能要求.要引导学生抓住定义、数形结合，利用总结出的符号法则，判断和记忆三角函数值的正负符号。这也是理解和记忆的关键。

例4.

例题分析：与上一道题目形成对比，一个是已知角所在象限判断三角函数符号，一个是根据符号判断角的象限。考察学生对符号规律的掌握程度、熟练程度。

【设计意图】本节课的最后一道题目，设计一些综合性稍强的思考性练习，以利于学生加强实践，促进知识、技能的转化。本题目不是一个知识点，而是要根据符号法则先讨论判断角所在象限，再根据两个条件最后确定答案。

充分发挥习题的功能，不仅能使学生扎实有效地理解和掌握数学中最基础的知识，形成基本的数学技能，而且能培养学生的数学应用意识和能力，培养学生的创新能力。

（四）总结反思——提高认识

由学生总结本节课所学习的主要内容：⑴任意角的三角函数的定义及其定义域；⑵三角函数的符号规律。

让学生通过知识性内容的小结，把课堂教学传授的知识尽快化为学生的素质；通过数学思想方法的小结，使学生更深刻地理解数学思想方法在解题中的地位和应用，并且逐渐培养学生的良好的个性品质目标。

（五）任务后延——自主探究

学生经过以上几个环节的学习，已经初步掌握了任意角的三角函数的定义及三角函数的符号规律，有待进一步提高认知水平，因此我针对学生素质的差异设计了有层次的作业，层次一：课本第17页A组题1(1)(2)。 层次二：课本第17页B组题3

其中思考题的设计思想是：综合练习巩固提高,更为下节的学习内容打下基础，同时留给学生课后自主探究，这样既使学生掌握基础知识，又使学有余力的学生有所提高，从而达到拔尖和“减负”的目的，以有利于全体学生的发展。