《高考数学填空题的解法》

发布者：黄俊光     所属单位：潮州市华侨中学     发布时间：2015-10-27    浏览数：1

高考数学填空题的解法

填空题是数学高考的三种基本题型之一，其求解方法分为：直接运算推理法、赋值计算法、规律发现法、数形互助法等等. 解题时，要有合理的分析和判断，要求推理、运算的每一步骤都正确无误，还要求将答案表达得准确、完整. 合情推理、优化思路、少算多思将是快速、准确地解答填空题的基本要求. 下面将按知识分类

 

1.  函数与不等式

例1 已知函数，则

讲解　由，得，应填4.

请思考为什么不必求呢？

例2  集合的真子集的个数是

讲解　，显然集合M中有90个元素，其真子集的个数是，应填.[来源:学科网]

 快速解答此题需要记住小结论;对于含有n个元素的有限集合,其真子集的个数是

例3 　若函数的图象关于直线对称，则

讲解　由已知抛物线的对称轴为,得　，而，有，故应填6.

例4 　如果函数，那么

　　　　　

讲解　容易发现，这就是我们找出的有用的规律，于是

    原式＝，应填

    本题是2002年全国高考题，十分有趣的是，2003年上海春考题中也有一道类似题：

    设，利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得

 

2.  三角与复数

 

例5 　　已知点P在第三象限，则角的终边在第象限.

讲解　由已知得

　　　　　　　

从而角的终边在第二象限，故应填二.

例6 不等式（）的解集为.

讲解 注意到，于是原不等式可变形为

　　　　　

而，所以，故应填

例7 　如果函数的图象关于直线对称，那么

讲解　，其中.

是已知函数的对称轴，

，

即　　　　，

于是　　　　　故应填 .

    在解题的过程中，我们用到如下小结论：

    函数和的图象关于过最值点且垂直于x轴的直线分别成轴对称图形.

例8 设复数在复平面上对应向量，将按顺时针方向旋转后得到向量，对应的复数为，则

讲解　应用复数乘法的几何意义，得[来源:学#科#网]

　　　　　

　　　　　　，

于是　　　

    故应填　

     例9     设非零复数满足　，则代数式　的值是____________.

    讲解　将已知方程变形为　　，

解这个一元二次方程，得

    　　　　　　

    显然有,　而,于是[来源:学,科,网]

    原式＝

    　　＝

    　　＝

    在上述解法中，“两边同除”的手法达到了集中变量的目的，这是减少变元的一个上策，值得重视.

 

3.  数列、排列组合与二项式定理

 

例10　已知是公差不为零的等差数列，如果是的前n项和，那么

    讲解　特别取，有，于是有

　　　　　　　  故应填2.

例11    数列中， , 则

    讲解  分类求和，得

   

   ，故应填．

例12    有以下四个命题：[来源:Z.xx.k.Com]

①

②

③凸n边形内角和为
④凸n边形对角线的条数是

其中满足“假设时命题成立，则当n=k+1时命题也成立’’.但不满足“当（是题中给定的n的初始值）时命题成立”的命题序号是　　　　　　　.

讲解 ①当n=3时，，不等式成立；

②   当n=1时，，但假设n=k时等式成立，则

　　　；

③　，但假设成立，则

　　　　　　

④　，假设成立，则

　　　　

故应填②③.

　　例13　某商场开展促销活动，设计一种对奖券，号码从000000到999999. 若号码的奇位数字是不同的奇数，偶位数字均为偶数时，为中奖号码，则中奖面（即中奖号码占全部号码的百分比）为　　　　　　　.

 

    讲解 　中奖号码的排列方法是：　奇位数字上排不同的奇数有种方法，偶位数字上排偶数的方法有，从而中奖号码共有种，于是中奖面为

    　　　　　　　　　　　　

    故应填

例14   的展开式中的系数是

讲解　由知，所求系数应为的x项的系数与项的系数的和，即有

　　　　　

故应填1008.

            4. 立体几何

    例15  过长方体一个顶点的三条棱长为3、4、5, 且它的八个顶点都在同一球面上，这个球的表面积是________.

讲解　长方体的对角线就是外接球的直径,　即有

　　　　

从而　　　，故应填

例16   若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积是　　　　　　　（只需写出一个可能的值）．

讲解  本题是一道很好的开放题，解题的开窍点是：每个面的三条棱是怎样构造的，依据“三角形中两边之和大于第三边”，就可否定｛1，1，2｝，从而得出｛1，1，1｝，｛1，2，2｝，｛2，2，2｝三种形态，再由这三类面构造满足题设条件的四面体，最后计算出这三个四面体的体积分别为： , ,，故应填.、 、 中的一个即可.

例17  如右图，E、F分别是正方体的面ADD₁A₁、面BCC₁B₁的中心，则四边形BFD₁E在该正方体

eq \o\ac(○,1)1

eq \o\ac(○,2)2

eq \o\ac(○,3)3

eq \o\ac(○,4)4

A

B

D

C

E

F

A1

B1

C1

D1

 

 

 

 

 

 

 

 

的面上的射影可能是　　　　　.（要求：把可能的图的序号都填上）

 

讲解  因为正方体是对称的几何体，所以四边形BFD₁E在该正方体的面上的射影可分为：上下、左右、前后三个方向的射影，也就是在面ABCD、面ABB₁A₁、面ADD₁A₁上的射影.

四边形BFD₁E在面ABCD和面ABB₁A₁上的射影相同，如图 eq \o\ac(○,2)2所示；

四边形BFD₁E在该正方体对角面的ABC₁D₁内，它在面ADD₁A₁上的射影显然是一条线段，如图 eq \o\ac(○,3)3所示.  故应填 eq \o\ac(○,2)2 eq \o\ac(○,3)3.

 

5.解析几何

例18   直线被抛物线截得线段的中点坐标是___________.[来源:Z*xx*k.Com]

讲解　由消去y，化简得

　　　　　　　　　

设此方程二根为，所截线段的中点坐标为，则

　　　　　　　　

故应填(3,2).

     例19 椭圆上的一点P到两焦点的距离的乘积为m，则当m取最大值时，点P的坐标是_____________________.

讲解  记椭圆的二焦点为，有

                                

则知        

    显然当，即点P位于椭圆的短轴的顶点处时，m取得最大值25.

    故应填或

    例20   一只酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的函数解析式是，在杯内放一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径r的取值范围是___________.

讲解   依抛物线的对称性可知，大圆的圆心在y轴上，并且圆与抛物线切于抛物线的顶点，从而可设大圆的方程为 

    由                  

消去x，得                                          （*）

解出                 或

    要使（*）式有且只有一个实数根，只要且只需要即

    再结合半径，故应填

填空题的类型一般可分为：完形填空题、多选填空题、条件与结论开放的填空题. 这说明了填空题是数学高考命题改革的试验田，创新型的填空题将会不断出现. 因此，我们在备考时，既要把关注这一新动向，又要做好应试的技能准备.