数形结合思想的应用

    在整个中学数学中，数形结合思想都占据着非常重要的地位，因此在历年的中考和高考中对于这一思想的考查也是十分重视.作为中学数学核心的思想方法之一，数形结合思想一直是许多数学家和数学教育者研究的一大重点．例如，蔡小雄老师和沈文选老师分别在其著作中针对中学数学的各个板块对数形结合思想作了一个系统的论述;数形结合思想既是学生学习数学、学好数学所不可或缺的一个重要内容，也是锻炼学生思维能力和创新能力的一个重要渠道．从简单的“数”和“形”的互化，到利用数形结合的思想解决复杂的代数问题和几何问题，是整个中学数学中所要逐渐形成的一种重要数学素养．因此，对中学数学中的数形结合思想进行研究具有非常重要的现实意义．

一、数形结合思想

所谓数形结合，就是以数学问题中给定的已知条件和相关结论之间的内在关系为依据，既揭示它的几何含义，又分析它的代数内涵，使空间形式和数量关系巧妙地结合起来，并根据这种数与形之间的结合寻求解题思路、优化问题解决过程的数学思想方法．因此数形结合思想的实质就是数学语言与图象语言的结合、抽象思维与形象思维的结合．通过对数和形的认识、转化，可以培养学生的形象思维能力，化抽象的数学问题为具体，使问题化难为易．如用两条直角边是一个单位长度的等腰直角三角形的斜边的长度表示;把两个数相加看作是把一条线段延长，相减则说成从一段线段割去另一段线段之长．通过对“形”的比较和度量，促进了“数”的发展．

在中学数学中，“以形助数”是数形结合思想的应用技巧之一，即在解决代数问题的时候，依据数所在的相关背景，分析其几何意义，把抽象的“数”转化为直观的“形”，再运用形的相关特点进行解答．这也是中学数学中数形结合最常见的体现形式．关于“以形助数”，在中学数学中的集合、方程与不等式、函数与三角函数等内容中都得到了充分的体现．

“形”具有直观形象的优势，但同时也存在粗略、繁琐、不便表达的缺陷．只有将形的特性通过简洁的数学描述、形式化的数学模型来表达，才能更好地体现数学的精确性和抽象性特点．因此，在几何中，常常把直观的图形用数进行量化，例如，把图形的位置关系、大小关系转化为相应的数量关系，通过运算揭示图形与图形或图形本身的性质特点．

二、应用数形结合思想的作用

⑴ 帮助学生形成概念

在中学数学中，所涉及到的概念和公式定理大都十分抽象并且难以理解，无论是教师的教还是学生的学都存在着相当大的难度.但若在概念的教学过程中将抽象的数学概念与直观的几何图形联系起来，通过图形的展示来演示出概念的本质属性，既能够丰富学生的感性材料，又可以为数学概念的建构奠定基础． 

⑵ 优化学生的数学认知结构

所谓数学认知结构是指数学知识通过内化在学习者的头脑中所形成的具有一定体系的组织结构．通过将数与形相结合可以促进学生对知识与知识之间的相互联系和转化，使学生对于知识的理解更加整体化和系统化，从而帮助学生构建有效的知识网络，优化其数学认知结构．

⑶ 拓展学生解决问题的途径

作为一种思维策略，虽然不是所有的数学题都可以通过数形结合的方法来进行求解，但它常常可以作为在寻求解题思路时的一个突破口．在解决数学问题的过程中，有意识地通过简明直观的图形代替冗长抽象的代数推理，将相关的数学知识模块模型化、直观化，可以拓展学生解决问题的途径．

总之，所谓数形结合思想，就是通过数和形之间的对应关系，利用数和形的相互转化来解决数学问题的思想方法．作为中学数学最重要的数学思想方法之一，数形结合思想的理念贯穿于整个中学数学的学习中．一般常说的数形结合有以下两种情形:一是“以形助数”，即通过形的几何直观性来揭示数与数之间的关系;二是“以数解形”，即利用数的精确性来分析形的相关属性．在中学数学的教学中，涉及到数形结合思想的内容也大体就是以上的这两种情形．